<= Notes sur les pratiques techniques
L’analyse était elle aussi mal assise sur ses bases:
Théorie des ensembles: On aboutit ainsi à l’idée que l’objet le plus général des mathématiques étaient l’étude des relations entre des objets abstraits, définis axiomatiquement, et sans rapport avec une quelconque réalité expérimentale. Cette idée aboutit à la création de la théorie des ensembles. Toutefois de nombreuses apories résultent de cette théorie:
Paradoxe du barbier: un barbier qui prétend raser tous les hommes qui ne se rasent pas eux mêmes doit il se raser lui même ? s’il le fait il a tord, car il ne doit pas raser ceux qui se rasent eux mêmes. S’il ne le fait pas il a tord, car il doit raser tous ceux qui ne se rasent pas eux mêmes.
Pour éviter ces difficultés les mathématiciens ont bâti une axiomatique bannissant les ensembles paradoxaux de la théorie des ensembles.
Le formalisme consiste non seulement à se donner une axiomatique, mais aussi des signes conceptuels et la manière de s’en servir ; le problème essentiel du formalisme est de démontrer la consistance et la complétude des théories mathématiques.
Prouver la cohérence d’une théorie: la méthode générale est la suivante
Prouver la complétude d’une théorie: il s’agit de démontrer que quelque soit une proposition B de la théorie dont les variables sont liés par des quantificateurs, non-B est aussi une proposition de la théorie.
Théorème de Gödel: ce théorème semble mettre un terme aux entreprises formalisantes de la métamathématique. Il en résulte en effet que :
L’intuitionnisme: Cette école des mathématiques a pour fondements des réflexions sur le principe du tiers exclu et de l’infini. On distingue par exemple:
Paradoxe de Galilée: un carré parfait est un nombre dont la racine est aussi un nombre entier. Il est évident qu’il y a beaucoup moins de carrés parfait que de nombres entiers. Or voyons les deux suites infinies, celle des nombres entiers et celle de leur carrés:
Suite n :1, 2, 3, …, n, …On voit qu’il y a autant de carrés parfaits que de nombres entiers, bien que l’ensemble des carrés parfaits ne représentent pas tous les nombres entiers.
La considération sur des ensembles infinis réalisés et non potentiels conduit souvent, comme l’exemple du paradoxe de Galilée, à des paradoxes (l’analyse en regorge)
La thèse intuitionniste: celle ci consiste à poser que la série des nombres entiers naturels dérive de l’intuition que nous en avons, au sens de la succession temporelle des instants de notre expérience. Tout l’édifice mathématique, par le biais de la géométrie analytique et l’analyse, repose ainsi sur l’arithmétique.
Le seul ensemble infini admis est celui des nombres entiers, lequel est pris en puissance, et non en acte. Les autres ensembles infinis sur lesquels on peut raisonner sont les ensembles dénombrables, qui se rapportent donc aux entiers naturels (Kronecker: Dieu a fait les nombres entiers, les hommes ont fait le reste).
Cette école a permis une approche très féconde sur l’analyse et des fondements des mathématiques.
Nature des êtres mathématiques:
Réalisme: Platon adopte une position réaliste, les mathématiques expriment des réalités au delà de l’expérience, relevées par une intuition intellectuelle immédiate, sans intermédiaires sensibles. On a affaire ici à un réalisme des essences (théorie des Idées). Cette thèse a le mérite d’expliquer la rigueur des mathématiques.
Psychologisme: les notions mathématiques et les lois logiques résultent de la projection des habitudes de la perception qui nous suggèrent de construire les théories mathématiques. Si tel était le cas le mathématicien, à l’instar de son collègue physicien, ne serait plus en sécurité quant aux fondements de sa science.
Conventionnalisme: (Poincaré) cette thèse considère que les notions mathématiques sont des conventions, exprimées par des axiomes. Les notions mathématiques ne sont donc pas de vraies et immuables nature, et ne sont pas non plus des idées abstraite de l’expérience sensible, ce sont de pures définitions conventionnelles qui témoignent de la liberté créatrice de l’esprit humain. L’écueil du conventionnalisme est la tautologie. Poincaré l’évitait par un acte de foi: par l’arithmétisation des mathématiques et par la croyance en la valeur souveraine du raisonnement par récurrence.
On
parvient ainsi à une vison unifiée des mathématiques, considérées
comme la théorie des structures de différentes espèces.
Adéquation des mathématiques au réel:
Lors de la mathématisation d’une expérience scientifique, on traduit les relations entre paramètres par des équations mathématiques. L’adéquation des mathématiques au réel n’est pas mystérieux ici, car la mathématisation de résultats d’expériences ne signifie pas que l’univers soit arithmétisable, il ne s’agit que d’un procéde d’induction.
Les lois déductives, comme celles de Newton, ne sont pas non plus mystérieuses: les principes sont en effet tirés d’expériences, et le calcul infinitésimal utilisé ne sert qu’au traitement des données expérimentales.
Le véritable problème de l’adéquation des mathématiques au réel apparaît lorsqu’on ne cherche plus simplement à traduire des faits expérimentaux par des équations, mais à construire une théorie, rendant certes compte des réalités physiques déjà connues, mais aussi capables de prédire de nouveaux faits, et de vérifier l’adéquation de ceux ci avec l’expérience. Le problème est de savoir comment une théorie abstraite, créée de toute pièce, convient si bien au réel.
Nous sommes ramenés là au vieux problème ontologique, et des rapports entre la substance et l’esprit.